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->Dúvidas Frequentes

-> Continuaremos com o estudo dos limites das funções que envolvem quocientes de polinômios em uma indeterminação do tipo  , porém com o “agravante” da raiz quadrada. A resolução deste tipo de limite envolve a multiplicação pelo o que chamaremos de conjugado.

Exemplo_2.2 - 

a) Verifique o comportamento da  com 

   Simbolicamente, calcule:

   Temos uma indeterminação do tipo  , pois

   Para resolver o "problema" buscaremos uma função equivalente através da multiplicação pelo conjugado do numerador. O numerador pode ser visualizado como:

 

, sendo  e .

 

   O conjugado de a-b é a+b, e vice-versa. Neste caso:

 tem como conjugado: 

   Quando multiplicamos:

, temos uma diferença de dois quadrados.

   A multiplicação pelo conjugado tem como objetivo a “eliminação” da raiz quadrada que é o agravante inicial neste problema.

 Multiplicando e dividindo a função inicial pelo conjugado do numerador, temos:

Observação: devemos multiplicar e dividir pelo conjugado para não alterarmos a expressão!

   A princípio este função equivalente é mais assustadora que a original, porém, como veremos, a indeterminação inicial que envolvia a raiz quadrada  não aparece nesta função.

, neste passo a raiz quadrada do numerador foi “eliminada” visto que:

, fazendo a multiplicação por -1 :

   Vale notar que, com a multiplicação e divisão pelo conjugado, inserimos uma raiz quadrada no denominador. Porém, esta raiz, que é parte do conjugado, não é um problema porque se  o conjugado  .

   Apesar da eliminação da raiz quadrada do numerador ainda temos uma indeterminação  .

  Porém o problema não envolve mais a raiz quadrada e sim o quociente descrito em verde:

o que nos leva a um problema do tipo estudado no capitulo anterior.

   Fazendo a fatoração algébrica do numerador.

ficamos com:

, simplificando:

   Concluímos que:

   Visualize o resultado abaixo.

Fig_2-2-a – Gráfico da função  .

 

b) Verifique o comportamento da função   com 

   Simbolicamente, calcule:

   Temos uma indeterminação do tipo  , pois

    O denominador pode ser visualizado como:

 

, sendo   e  .

   Neste caso:  tem como conjugado: 

   Multiplicando e dividindo pelo conjugado:

   Notem que ainda temos indeterminação  no quociente em verde:

, usando a diferença de dois quadrados no denominador em verde:

, o quociente em amarelo na expressão abaixo resulta em -1.

   Observe:

    Ficamos com:

   Concluimos que:

   Visualize o resultado abaixo.

Fig_2-2-b – Gráfico da função  .

 

c) Verifique o comportamento da função  com 

   Simbolicamente, calcule:

   Temos uma indeterminação do tipo  , pois

  Neste caso temos um “problema duplo”, devemos utilizar o método do conjugado para “eliminar” a raiz quadrada do denominador e a do numerador. Inicialmente multiplicamos e dividimos pelo conjugado do numerador:

, sendo  e  .

   Neste caso:  tem como conjugado:  .

   Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador:

   Notem que ainda temos indeterminação  no quociente em verde:

 O conjugado do denominador:

, sendo  e .

   Neste caso:  tem como conjugado:

   Multiplicando e dividindo pelo conjugado do denominador:

   Notem que ainda temos indeterminação  no quociente em verde:

, usando a diferença de dois quadrados no denominador em verde:

, o quociente em amarelo na expressão abaixo resulta em -1.

   Concluimos que:

   Visualize o resultado abaixo.

Fig_2-2-c – Gráfico da função  .

 

d) Verifique o comportamento da função  com 

   Simbolicamente, calcule:

   Temos uma indeterminação do tipo  , pois

   Para identificarmos o conjugado do numerador, inicialmente, reescreveremos o numerador como:

   Reescrevendo o limite original: 

​

   Neste formato fica evidente que:

sendo:  e  .

   Neste caso:  tem comoconjugado:  .

   Multiplicando e dividindo pelo conjugado do numerador:

, observe que:

que é uma diferença ao quadrado :

, portanto:

   Notem que ainda temos indeterminação  no quociente em verde:

, usando a fatoração algébrica no numerador e no denominador em verde:

   Concluimos que:

   Visualize o resultado abaixo.

Fig_2-2-d – Gráfico da função  .